Если некоторый параметр неравномерно распределен по объему газа, то из-за теплового движения молекул имеется тенденция к его выравниванию. Явления вязкости (внутреннего трения), теплопроводности газов и диффузии связаны соответственно с переносом направленных скоростей молекул, их кинетической энергии и концентрации.
Если при низком вакууме ().<^d) газ течет вдоль поверхности, то в нормальном к движению направлении устанавливается возрастающее распределение (рис. 2) направленных (касательных) скоростей ин, причем у поверхности ун = 0 при у = 0. Сила взаимодействия трущихся слоев, по определению, равна F = x\A —- где ц --dy коэффициент вязкости (внутреннего трения), зависящий от рода газа и температуры, пз (дин- сек/см2); А — площадь соприкосновения слоев. При 0° С для N2 = 1,7-КУ4 пз. Направленные импульсы молекул на . f , . « dvH \
расстоянии ±Л от некоторого у0 равны т и„ \у=у + К---) .
\ dy J
Учитывая тепловое движение молекул по у с частоюй v = hut/4, получаем силу трения слоев как передаваемый
Следовательно, при низком вакууме коэффициент вязкости газов не зависит от давления, так как в уравнение (14) входит произведение пк.
При высоком вакууме (73>d) нет взаимных соударений молекул, поэтому нельзя говорить о трении слоев газа. Если рассмотреть две пластины, неподвижную и движущуюся параллельно ей со скоростью ин, то сила взаимодействия пластин (увлечение первой и торможение второй) равна Е = т]мАон, где цм—коэффициент молекулярного трения. Молекулы, последовательно соударяясь с обеими пластинами, переносят импульс Avne,,. Отсюда получаем
Следовательно, при высоком вакууме коэффициент молекулярного трения линейно возрастает с увеличением давления, что используют для измерения вакуума.
В роторном манометре применяется безопорная подвеска металлического шарика в динамическом магнитном поле, величина которого регулируется датчиком вертикального положения шарика (его вертикальное положение стабилизируется с точностью до 10-8 см). Поскольку в опорах трения нет, шарик можно раскрутить до очень больших угловых скоростей (порядка 1 Мгц), ограниченных лишь его прочностью на разрыв. Вращение ему придается с помощью вращающегося магнитного поля трехфазных обмоток. Давление измеряют по скорости убывания числа оборотов шарика из-за молекулярного трения после выключения раскручиваю-- щего поля. Нижний предел роторного манометра порядка Ю-10 тор определяют магнитным трением
где / — механический эквивалент теплоты. Отсюда получим
Коэффициент теплопроводности при низком вакууме не зависит от давления, а при высоком вакууме пропорционален Р. При соударении с поверхностью молекула может не полностью воспринять ее температуру Тп, что учитывается коэффициентом аккомодации
Здесь 7'м1<7’м2 — температура молекулы до и после удара о поверхность.
Поток молекул через поверхность А из-за градиен-dN та концентрации описывается уравнением — = at
= —AD— , где D — коэффициент диффузии. При высо-дг
ком давлении (Х<Сс?) поток молекул равен: откуда £)=—птХ = г]/ти. (Более точно D-- -уРтХ.) Следовательно, при коэффициент диффузии зависит от давления. В общем случае взаимной диффузии двух разных газов
Если один газ является малой примесью (n2<^«i), то взаимная диффузия определяется газом-примесью: Db3= X2v^2/3.
Подставляя п и X в выражение для D, получаем зависимость коэффициента диффузии от температуры и рода газа: D~T 3/2/<у21/ М, т. е. диффузия возрастает с увеличением температуры и с уменьшением молекулярного веса газа.
При высоком вакууме (X3>d) диффузия не ограничена взаимными соударениями, но ограничена молеку-
лярными скоростями. Если диффузия происходит в трубке с малым диаметром d, то роль коэффициента диффузии при высоком вакууме играет величина D = = dv?l3.
Предположим, что в системе есть две области с температурами Т\, Т3, соединенные узкой трубкой через промежуточный объем с температурой Т2. Тогда в молекулярном режиме равновесное состояние достигается не при равном давлении в соседних областях, к чему приводила бы диффузия, а при равенстве встречных потоков газа между этими областями, т. е. при И1Щ/4 = = п2У2/4 = Изиз/4. Подставляя сюда значения п и и, получаем
т. е. равновесное давление в сообщающихся объемах неодинаково из-за различия температур. Это явление названо термической эффузией. Если в крайних областях температуры одинаковы (Л^Гз), то Р\=Рз, независимо от температуры в промежуточном объеме Т2. Это означает, например, что если основной объем отделен от манометра ловушкой при температуре жидкого азота, то показания манометра не искажаются.
С явлениями переноса связан радиометрический эффект (см. рис. 2). Две неподвижные пластины нагреты до температуры T2Z>T\, где Т\— комнатная температура. Подвешенная пластина испытывает с двух сторон удары молекул с разными энергиями (при V2>^i). Поворачивающая сила на единицу поверхности равна т(у2—щ)у. Если коэффициент упругости тормозящей пружины (J, а поворачивающий момент радиометрического эффекта
то из равенства /Ир = ру при равновесии повернувшейся пластинки получим выражение для угла поворота у:
где А и d — площадь и ширина пластины. Следовательно, угол ее поворота служит мерой давления и не зависит от массы молекулы. Радиометрический манометр, предложенный Кнудсеном, можно использовать
как эталон для градуировки, его показания не зависят от рода газа с точностью до коэффициента аккомодации. Однако радиометрические манометры не получили распространения из-за конструктивных неудобств. Вязкостные манометры с колеблющейся кварцевой нитью предложены Ленгмюром. Их показания зависят от рода газа как J/М, что можно использовать для измерения молекулярного веса газа.
Течение газов по трубопроводам
Величина потока газа по трубопроводу определяется количеством газа, проходящим в единицу времени чепе.ч сечение тпубы лиаметоом d.
где dV/dt — объем газа, проходящего в 1 сек через сечение трубы при давлении Р.
При большом давлении течение турбулентно, обра зует завихрения и имеет колебания скорости и давления около некоторых средних величин. При меньших давлениях течение ламинарно и имеет сохраняющиеся линии тока. Число Рейнольдса есть отношение работы ускорения массы W газа Wvl/2 к работе сил трения t]VH(ndL), где W=p^~L (р = тп — плотность газа, L — длина трубы):
причем vH= (4/ttd2)dV/dt. Для воздуха Re = Q/89d. Если Re>2200 (или Q>2- 105d), то потолок турбулентный, если Re<1200 или Q<l-105rf—потолок ламинарный.
При ламинарном течении основное значение имеет вязкостное трение при K<^d. Можно считать, что вязкостный режим течения имеет место при 7><У/100 Если (практически при ?.>d/3), то течение молекулярное, причем молекулы движутся по отрезкам ломаных, опирающимся на стенки трубы.
Важная характеристика трубопроводов — это пропускная способность, определяемая из вакуумного закона Ом я
где ДР=РВк—Рвых — разность давлений на концах трубы. Рассмотрим круглый трубопровод в вязкостном режиме (рис. 3). Цилиндрический элемент газа находится в равновесии под действием сил давления на торцы \nr2(P + dP)—nr2P = nr2dP} и вязкостного трения по боковой поверхности (—т] — 2nrdr). Приравнивая dr
силы, получаем уравнение =— — rdP/dz при уело где d, L — диаметр и длина, c.w; Р — давление, тор-, С — пропускная способность, л/сек. Для других газов и температур коэффициент пересчитывается соответственно 1/г). Для прямоугольного трубопровода со сторонами q2£j2
вии Рн| _ d =0- Решение его дает радиальное распре-2
деление направленной скорости Г2Ц:
Найдем объем газа, протекающего в 1 сек через сечение трубы:
Заменим dPjdz величиной APfL и используем (24) и (26):
Это выражение представляет собой пропускную способность цилиндрического трубопровода в вязкостном режиме. Для воздуха при 20° С C=182d4P/L,
awb С=260 -у— PY, причем функцию У можно опреде-лить из табл. 1.
Таблица 1
|
ajb |
1,0 |
0,8 |
0,6 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
|
Y |
1,00 |
0,98 |
0,90 |
0,71 |
0,41 |
0,23 |
При молекулярном режиме приравняем силу торцового давления газа AdP силе трения молекул о поверхность трубы BdzmvHv (здесь А и В — площадь и периметр_ сечения трубопровода). Используя выражения Q = PAv^, P=nkT, получим причем это выражение не предполагает круглой формы трубы. Для воздуха при комнатной температуре C = 6\,8A2/BL (л/сек, см). Если труба круглая, то С= = 12,Id3//.; для других газов следует сделать пересчет по коэффициенту К Т/М. Для легких газов пропускная способность больше, чем для воздуха: для гелия (2И = 4), например, в 2,7 раза. Зависимость от диаметра трубы в молекулярном режиме (d3) слабее, чем в вязкостном (d4); кроме того, молекулярная проводимость не зависит от давления. Кнудсен предложил общее выражение для молекулярной пропускной способности длинного трубопровода с переменным сечением
Для постоянного сечения интеграл равен BL/A'2\ подставляя Vt из уравнения (10), получаем выражение (30).
Для промежуточного режима при d/100<X<d/3 Кнудсен предложил эмпирическую формулу (для воз-ПЛ7УЯ 1 ’
Таблица 2
|
d, мкм |
0,01 |
0,1 |
1 |
10 |
100 |
|
Свозд |
9,9.10“Ч |
1,7-10-8 |
1,4-10-6 |
0,06 |
470 |
|
Фгел Чвозд |
7,7 |
5,3 |
2,3 |
1,2 |
0,93 |
|
Р2, тор |
3,7-Ю-3 |
6,3-10-3 |
5,2-10—2 |
2,2 |
170 |
Капиллярная течь имеет сложную форму и диаметр ее — условное понятие. При малом диаметре d (доли микрон) можно пренебречь членами с d3 и d4, и отношение потоков по некоторому газу и по воздуху стремится к — . —. При больших d>30 мкм это отноше-7)в М ние равно т]в/'П-
Легко видеть, что она переходит в выражение для молекулярного и вязкостного режимов при малых и больших давлениях соответственно.
Формулу (32) можно использовать для исследования особенностей потоков через малые капиллярные каналы. Если давление внутри капилляра меняется не-линейно, то Q=J C(P)dP, где Ра — атмосферное дав-рг
ление на входе; Р2—минимальное давление внутри капилляпа. Считая Ро = 0. получаем Г201
где L — длина, см; d — диаметр канала, мкм. В действительности можно оценить Р2 = 3,7 КН6 Q/d2 мтор.
Расчеты по уравнению (33) дают для L=1 см величины потоков, приведенные в табл. 2 для воздуха и гелия.
С учетом Р2 вязкостный поток равен
Отверстия и короткие трубопроводы
Диафрагмой называют перегородку с отверстием, соединяющим две области с разными давлениями (7?2/7?i = = г<1). Диафрагма считается малой, если ее площадь АдСАп.э, где Ап.о — площадь сечения предшествующего элемента.
При вязкостном истечении газа из отверстия (Xcd) поток и скорость газа возрастают с уменьшением отношения давлений по обе стороны от диафрагмы по сравнению с начальным значением 1 (формула Прандтля в единицах СГС):
Обычно используют последнее равенство. Если диафрагма с круглым отверстием диаметром d, то для воздуха при вязкостном режиме C=15,7d2.
В молекулярном режиме при через отверстие в диафрагме протекают два независимых встречных потока. Число молекул, падающих на отверстие с каждой стороны, равно Hi,2^t/4; с учетом уравнений (2), (10) и (24) получим пазностный поток
Здесь y=CP!Cv — отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и объеме. Для воздуха при комнатной температуре у= 1,403. Когда скорость истечения достигает скорости звука изв= V уРг/р, величина потока становится максимальной и дальше не увеличивается с уменьшением г. Из условия dQ/dr-Q полу-
Отсюда для воздуха при 20° С С= 11,6АД л/сек, а если отверстие круглое, то C=9,ld2.
Если отверстие в диафрагме по размеру одного порядка с предшествующим элементом (Ад—Ап.э), то необходимо использовать следующие проводимости больших диафпагм:
где Смд — приведенная выше проводимость малой диафрагмы для соответствующего режима. Легко обнаруживается согласие уравнения (38) с предельными случаями: при Ад-сЛп.э уравнение (38) переходит в Сб.д= = СМД (малое отверстие); если же АЯ^АП.Э, то С^.^оо (отсутствие сопротивления диафрагмы).
Если трубопровод короткий, то в формулах, приведенных в § 4, следует учитывать сопротивление входного отверстия трубы. Согласно приближенному методу Дэшмана [1], пропускные способности последовательных элементов складываются аналогично электрическим проводимостям:
где Ск.т, Сдт и Сд — пропускная способность короткой, длинной трубы и входной диафрагмы соответственно. Подстановка значений Сд.т и т. д. дает для молекулярного режима
т. е. учет сопротивления входного отверстия эквивалентен увеличению длины трубы на 1,33 d. Если L^d (длинная труба) или L<l?d (диафрагма без трубы), то очевидные пренебрежения в уравнении (40) дают Сд.т или Сд.
Излом в трубе оказывает сопротивление потоку газа: учет его в случае вязкостного режима сложен. В молекулярном режиме частицы отражаются от стен в произвольном направлении, согласно уравнению (13), поэтому роль излома невелика. Принято считать, что в молекулярном режиме излом с углом 90°, как последовательный элемент в трубе, эквивалентен добавлению еще одной диафрагмы. Для трубы с изломом
Более точно входное сопротивление диафрагмы можно учесть по газокинетическому методу Клаузин-га. Для диафрагм и трубок любом длины в молекулярном режиме
Таблица 3
|
L/d |
0 |
0,25 |
0,5 |
1,0 |
2,0 |
5,0 |
|
К |
1,00 |
0,8013 |
0,6720 |
0,5136 |
0,3589 |
0,1973 |
Случай Lfd=Q соответствует диафрагме без трубы, при К=\ уравнение (42) согласуется с уравнением (37), поскольку величина vT/4 = v/« по смыслу есть объем газа, падающий в 1 сек на единицу площади отверстия. Для длинной трубы L/d-^oo, при этом /C->4d/3Z.; подстановка этой величины в уравнение (42) дает С= = 12,1с!3/Л, поскольку A vT/4 = 9,1 d2.
Для прямоугольного трубопровода в молекулярном режиме из уравнения (30) имеем для воздуха
причем У1 зависит от отношения